2021年高考已经结束,本文尝试基于有限的先验知识(读懂题目),用Mathematica软件计算求解题目。

2021年普通高等学校招生全国统一考试 (I卷)
理科数学

一、选择题

本题共12小题,每小题5分,共60分。

  1. 2(z+z¯)+3(zz¯)=4+6i , 则z=1+i

    Solve[2 (z + Conjugate@z) + 3 (z - Conjugate@z) == 4 + 6 I]

  2. 已知集合S={s|s=2n+1,nZ},T={t|t=4n+1,nZ}, 则ST=T

    {Resolve[Exists[m, 4 n + 1 == 2 m + 1], Integers], Resolve[Exists[n, 4 n + 1 == 2 m + 1], Integers]}

  3. 已知命题p:xR,sinx<1; 命题q:xR,e|x|1,则下列命题中为真命题的是:pq

    {Resolve[Exists[x, Sin[x] < 1], Reals], Resolve[ForAll[x, Exp[Abs[x]] >= 1], Reals]}

  4. 设函数f(x)=1x1+x,则下列函数中为奇函数的是:f(x1)+1

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    ClearAll[f, g];
    f[x_] := (1 - x)/(1 + x); 
    g[x_] := f[x - 1] + 1; 
    Resolve[ForAll[x, g[x] == -g[-x]], Reals]
    
  5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,PB1D1的中点,则直线PBAD1所成的角为:π/6

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With[{ad1 = {0, 1, 1}, pb = {1/2, 1/2, 1} - {1, 0, 0}}, VectorAngle[pb, ad1]]

  1. 5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有240

    Binomial[5, 2]*4!

  2. 把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sin(xπ4)的图像,则f(x)=sin(x2+π12) (略)

  3. 在区间(0,1)(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于74的概率为:2332(略)

  4. 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高。如图,点E,H,G在水平线AC上,DEFG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GCEH都称为“表目距”,GCEH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=表高×表距表目距的差+表高

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1
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Simplify@Reduce[{表高/ab == eh/ah, 表高/ab == gc/ac, gc - eh == 表目距的差, ac - ah == 表距 + 表目距的差, 
    表距 > 0, 表目距的差 > 0, ac > ah > 0, eh > 0, 表高 > 0}, 
    {ab, ac, ah, eh, gc}, Reals]
  1. a0,若x=a为函数f(x)=a(xa)2(xb)的极大值点,则:ab>a2

    f[x_] := a (x - a)^2 (x - b); Simplify[(D[f[x], {x, 2}] /. x -> a) < 0]

  2. B是椭圆C:x2a2+x2b2=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|2b,则C的离心率的取值范围是:(0,2/2]

    1
    
    Simplify@Reduce[ForAll[{x, y}, {x^2/a^2 + y^2/b^2 == 1, a > b > 0}, x^2 + (y - b)^2 <= 4 b^2], Reals]
    
  3. a=2ln1.01,b=ln1.02,c=1.041,则:a>c>b (略)

二、填空题

本题共4小题,每小题5分,共20分。

  1. 已知双曲线C:x2my2=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为:4(略)

  2. 已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(aλb)b,则λ=3/5

    With[{a = {1, 3}, b = {3, 4}}, Solve[VectorAngle[a - b x, b] == Pi/2]]

  3. ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3.B=60,a2+c2=3ac,则b=22

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    ClearAll[a, b, c]; Simplify@
    Solve[{a c Sin[Pi/3]/2 == Sqrt[3], b^2 == a^2 + c^2 - 2 a c Cos[Pi/3], a^2 + c^2 == 3 a c, 
     a > 0, b > 0, c > 0}, {a, b, c}, Reals]
    
  4. 以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为②⑤或③④(略)

三、解答题

共70分。第17~21题为必考题,第22、23题为选考题

(一)必考题

共5小题,每小题12分,共60分。

  1. 某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和新设备各生产了10件产品,得到个件产品该项指标数据如下:

    旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x¯y¯,样本方差分别记为s12s22

    (1)求x¯,y¯,s12,s22. 10, 10.3, 0.036, 0.04

    (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y¯x¯2s12+s222,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高,否则不认为有显著提高).

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    old = {9.8, 10.3, 10.0, 10.2, 9.9, 9.8, 10.0, 10.1, 10.2, 9.7};
    new = {10.1, 10.4, 10.1, 10.0, 10.1, 10.3, 10.6, 10.5, 10.4, 10.5};
    {{a, b} = Mean /@ {old, new}, 
    {c, d} = Variance[#]*(Length[#] - 1)/Length[#] & /@ {old, new}, 
    b - a >= 2 Sqrt[(c + d)/2]}
    
  2. 如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,PD底面ABCD,PD=DC=1,MBC的中点,且PBAM

    (1)求BC=2

    (2)求二面角APMB的正弦值:5/14

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    ClearAll[p, b, a, m, t]; With[{p = {0, 0, 1}, b = {t, 1, 0}, a = {t, 0, 0}, m = {t/2, 1, 0}}, 
    {Solve[{VectorAngle[p - b, a - m] == Pi/2, t > 0}, t, Reals], 
      Sin@DihedralAngle[{p, m}, {a - m, b - m}] /. t -> Sqrt[2]}]
    
  3. Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知2Sn+1bn=2

    (1)证明:数列{bn}是等差数列.

    (2)求{an}的通项公式

    b[n]=n+22S[n]=n+2n+1a[n]={3/2,n=11n(n+1),n2

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    RSolve[{b[1] == 3/2, 2 b[n - 1] + 1 == 2 b[n]}, {b}, n]
    b[n]/b[n - 1] /. b -> Function[{n}, (2 + n)/2]
    RSolve[{a[n] == S[n] - S[n - 1], a[2] == -1/6} /. S -> Function[{n}, (2 + n)/(1 + n)], {a}, n]
    
  4. 设函数f(x)=ln(ax),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点

    (1)求a=1

    ClearAll[a, x]; Solve[((D[x Log[a - x], x]) /. x -> 0) == 0]

    (2)设函数g(x)=x+f(x)xf(x),证明g(x)<1

    Resolve[ForAll[x, x < 1 && x != 0, x + Log[1 - x] > x Log[1 - x]], Reals]

  5. 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4

    (1)求p=2

    Solve[{RegionDistance[ImplicitRegion[x^2 + (y + 4)^2 == 1, {x, y}], {0, p/2}] == 4, p > 0}]

    (2)若点PM上,PAPBC的两条切线,AB是切点,求PAB面积的最大值:205

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    Simplify@Reduce[{px^2 + (py + 4)^2 == 1, y - py == k (x - px), x^2 == 4 y, k^2 - k px + py == 0}, {x, y}]
    Maximize[{Area@Triangle@Append[{2 k, 2 k^2 - k px + py} /. Solve[k^2 - k px + py == 0, k], {px, py}], 
    px^2 + (py + 4)^2 == 1}, {px, py}]
    {20 Sqrt[5], {px -> 0, py -> -5}}
    

(二)选考题

共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

  1. 【选修4-4:坐标系与参数方程】

    在直角坐标系xOy中,C的圆心为C(2,1),半径为1

    (1)写出C的一个参数方程: {x=2+cosθy=1+sinθ(略)

    (2)过点F(4,1)C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程: rsinθ=1±rcosθ43

    1
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    3
    
    TransformedField[ "Cartesian" -> "Polar", 
      y - 1 == k (x - 4), {x, y} -> {r, \[Theta]}] /. 
     Solve[RegionDistance[ImplicitRegion[y - 1 == k (x - 4), {x, y}], {2, 1}] == 1]
    
  2. 【选修4-5:不等式选讲】

    已知函数f(x)=|xa|+|x+3|

    (1)当a=1时,求不等式f(x)6的解集: (,4][2,)

    Reduce[Abs[x - 1] + Abs[x + 3] >= 6, x, Reals]

    (2)若f(x)>a,求a的取值范围: a>-3/2

    Reduce[ForAll[x, Abs[x - a] + Abs[x + 3] > -a], Reals]