2021年高考已经结束，本文尝试基于有限的先验知识（读懂题目），用Mathematica软件计算求解题目。

2021年普通高等学校招生全国统一考试 (I卷)
理科数学

一、选择题

本题共12小题，每小题5分，共60分。

  1. 设 $ 2(z+\bar{z})+3(z-\bar{z})=4+6i $ , 则$z=1+i$

    Solve[2 (z + Conjugate@z) + 3 (z - Conjugate@z) == 4 + 6 I]

  2. 已知集合$S=\lbrace s | s=2n+1, n \in \mathbb{Z}\rbrace , T=\lbrace t| t=4n+1, n \in \mathbb{Z}\rbrace $, 则$S\cap T=T$

    {Resolve[Exists[m, 4 n + 1 == 2 m + 1], Integers], Resolve[Exists[n, 4 n + 1 == 2 m + 1], Integers]}

  3. 已知命题$p:\exists x \in \mathbb{R}, \sin x<1$; 命题$q: \forall x \in \mathbb{R}, e^{|x|} \ge 1$，则下列命题中为真命题的是：$p\land q$

    {Resolve[Exists[x, Sin[x] < 1], Reals], Resolve[ForAll[x, Exp[Abs[x]] >= 1], Reals]}

  4. 设函数$f(x)=\frac{1-x}{1+x}$，则下列函数中为奇函数的是：$f(x-1)+1$

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    ClearAll[f, g];
f[x_] := (1 - x)/(1 + x); 
g[x_] := f[x - 1] + 1; 
Resolve[ForAll[x, g[x] == -g[-x]], Reals]

  5. 在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$P$为$B_1D_1$的中点，则直线$PB$与$AD_1$所成的角为：$\pi /6$

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With[{ad1 = {0, 1, 1}, pb = {1/2, 1/2, 1} - {1, 0, 0}}, VectorAngle[pb, ad1]]

  1. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有240种

    Binomial[5, 2]*4!

  2. 把函数$y=f(x)$图像上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，得到函数$y=\sin (x-\frac{\pi}{4})$的图像，则$f(x)=\sin (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12})$ (略)

  3. 在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于$\frac{7}{4}$的概率为：$\frac{23}{32}$(略)

  4. 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高。如图，点$E,H,G$在水平线$AC$上，$DE$和$FG$是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，$EG$称为“表距”，$GC$和$EH$都称为“表目距”，$GC$与$EH$的差称为“表目距的差”，则海岛的高$AB=\frac{表高 × 表距}{表目距的差}+表高$

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Simplify@Reduce[{表高/ab == eh/ah, 表高/ab == gc/ac, gc - eh == 表目距的差, ac - ah == 表距 + 表目距的差, 
    表距 > 0, 表目距的差 > 0, ac > ah > 0, eh > 0, 表高 > 0}, 
    {ab, ac, ah, eh, gc}, Reals]

  1. 设$a \ne 0$，若$x=a$为函数$f(x)=a(x-a)^2(x-b)$的极大值点，则：$ab>a^2$

    f[x_] := a (x - a)^2 (x - b); Simplify[(D[f[x], {x, 2}] /. x -> a) < 0]

  2. 设$B$是椭圆$C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$的上顶点，若$C$上的任意一点$P$都满足$|PB|\le 2b$，则$C$的离心率的取值范围是：$(0,\sqrt{2}/2]$

    1

    Simplify@Reduce[ForAll[{x, y}, {x^2/a^2 + y^2/b^2 == 1, a > b > 0}, x^2 + (y - b)^2 <= 4 b^2], Reals]

  3. 设$a=2 \ln 1.01, b=\ln 1.02, c=\sqrt{1.04}-1$，则：$a>c>b$ (略)

二、填空题

本题共4小题，每小题5分，共20分。

  1. 已知双曲线$C: \frac{x^2}{m}-y^2=1(m>0)$的一条渐近线为$\sqrt{3}x+my=0$，则$C$的焦距为：4(略)

  2. 已知向量$a = (1,3), b=(3,4)$，若$(a-\lambda b) \bot b$，则$\lambda=3/5$

    With[{a = {1, 3}, b = {3, 4}}, Solve[VectorAngle[a - b x, b] == Pi/2]]

  3. 记$\triangle ABC$的内角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$，面积为$\sqrt{3}. B=60^\circ, a^2+c^2=3ac $，则$b=2\sqrt{2}$

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    ClearAll[a, b, c]; Simplify@
Solve[{a c Sin[Pi/3]/2 == Sqrt[3], b^2 == a^2 + c^2 - 2 a c Cos[Pi/3], a^2 + c^2 == 3 a c, 
 a > 0, b > 0, c > 0}, {a, b, c}, Reals]

  4. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为②⑤或③④(略)

三、解答题

共70分。第17~21题为必考题，第22、23题为选考题

（一）必考题

共5小题，每小题12分，共60分。

  1. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和新设备各生产了10件产品，得到个件产品该项指标数据如下：

    旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为$\bar{x}$和$\bar{y}$，样本方差分别记为$s_1^2$和$s_2^2$

    （1）求$\bar{x},\bar{y},s_1^2,s_2^2$. 10, 10.3, 0.036, 0.04

    （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果$\bar{y}-\bar{x} \ge 2\sqrt{\frac{s_1^2+s_2^2}{2}}$，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高，否则不认为有显著提高）. 否

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    old = {9.8, 10.3, 10.0, 10.2, 9.9, 9.8, 10.0, 10.1, 10.2, 9.7};
new = {10.1, 10.4, 10.1, 10.0, 10.1, 10.3, 10.6, 10.5, 10.4, 10.5};
{{a, b} = Mean /@ {old, new}, 
{c, d} = Variance[#]*(Length[#] - 1)/Length[#] & /@ {old, new}, 
b - a >= 2 Sqrt[(c + d)/2]}

  2. 如图，四棱锥$P_ABCD$的底面是矩形，$PD \bot$底面$ABCD, PD=DC=1, M$ 为$BC$的中点，且$PB \bot AM$

    （1）求$BC=\sqrt{2}$

    （2）求二面角$A-PM-B$的正弦值：$\sqrt{5/14}$

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    ClearAll[p, b, a, m, t]; With[{p = {0, 0, 1}, b = {t, 1, 0}, a = {t, 0, 0}, m = {t/2, 1, 0}}, 
{Solve[{VectorAngle[p - b, a - m] == Pi/2, t > 0}, t, Reals], 
  Sin@DihedralAngle[{p, m}, {a - m, b - m}] /. t -> Sqrt[2]}]

  3. 记$S_n$为数列$\lbrace a_n\rbrace $的前n项和，$b_n$为数列$\lbrace S_n\rbrace $的前n项积，已知$\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$

    （1）证明：数列$\lbrace b_n\rbrace $是等差数列.

    （2）求$\lbrace a_n\rbrace $的通项公式

    $$\begin{aligned} &b[n]=\frac{n+2}{2} \cr &S[n]=\frac{n+2}{n+1} \cr &a[n]=\left \lbrace \begin{aligned} 3/2, \quad &n=1 \cr -\frac{1}{n(n+1)},\quad &n \ge 2 \end{aligned} \right.\end{aligned}$$

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    RSolve[{b[1] == 3/2, 2 b[n - 1] + 1 == 2 b[n]}, {b}, n]
b[n]/b[n - 1] /. b -> Function[{n}, (2 + n)/2]
RSolve[{a[n] == S[n] - S[n - 1], a[2] == -1/6} /. S -> Function[{n}, (2 + n)/(1 + n)], {a}, n]

  4. 设函数$f(x)=\ln (a-x)$，已知$x=0$是函数$y=xf(x)$的极值点

    （1）求a=1

    ClearAll[a, x]; Solve[((D[x Log[a - x], x]) /. x -> 0) == 0]

    （2）设函数$g(x)=\frac{x+f(x)}{xf(x)}$，证明$g(x)<1$

    Resolve[ForAll[x, x < 1 && x != 0, x + Log[1 - x] > x Log[1 - x]], Reals]

  5. 已知抛物线$C: x^2=2py(p>0)$的焦点为$F$，且$F$与圆$M: x^2+(y+4)^2=1$上点的距离的最小值为4

    （1）求p=2

    Solve[{RegionDistance[ImplicitRegion[x^2 + (y + 4)^2 == 1, {x, y}], {0, p/2}] == 4, p > 0}]

    （2）若点$P$在$M$上，$PA，PB$是$C$的两条切线，$A，B$是切点，求$\triangle PAB$面积的最大值：$20\sqrt{5}$

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    Simplify@Reduce[{px^2 + (py + 4)^2 == 1, y - py == k (x - px), x^2 == 4 y, k^2 - k px + py == 0}, {x, y}]
Maximize[{Area@Triangle@Append[{2 k, 2 k^2 - k px + py} /. Solve[k^2 - k px + py == 0, k], {px, py}], 
px^2 + (py + 4)^2 == 1}, {px, py}]
{20 Sqrt[5], {px -> 0, py -> -5}}

（二）选考题

共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

  1. 【选修4-4：坐标系与参数方程】

    在直角坐标系$xOy$中，$\bigodot C$的圆心为$C(2,1)$，半径为1

    （1）写出$\bigodot C$的一个参数方程: $\Big\lbrace \begin{aligned} &x =2+\cos \theta \cr &y=1+\sin \theta \end{aligned}$(略)

    （2）过点$F(4,1)$作$\bigodot C$的两条切线，以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程: $r \sin \theta =1 \pm \frac{r \cos \theta-4}{\sqrt{3}}$

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    TransformedField[ "Cartesian" -> "Polar", 
  y - 1 == k (x - 4), {x, y} -> {r, \[Theta]}] /. 
 Solve[RegionDistance[ImplicitRegion[y - 1 == k (x - 4), {x, y}], {2, 1}] == 1]

  2. 【选修4-5：不等式选讲】

    已知函数$f(x)=|x-a|+|x+3|$

    （1）当$a=1$时，求不等式$f(x)\ge 6$的解集: $ (-\infty,-4] \bigcup [2, \infty)$

    Reduce[Abs[x - 1] + Abs[x + 3] >= 6, x, Reals]

    （2）若$f(x)>-a$，求a的取值范围: a>-3/2

    Reduce[ForAll[x, Abs[x - a] + Abs[x + 3] > -a], Reals]