2021高考理科数学全国1卷的计算机求解
文章目录
2021年高考已经结束,本文尝试基于有限的先验知识(读懂题目),用Mathematica软件计算求解题目。
理科数学
一、选择题
本题共12小题,每小题5分,共60分。
-
设
, 则Solve[2 (z + Conjugate@z) + 3 (z - Conjugate@z) == 4 + 6 I]
-
已知集合
, 则{Resolve[Exists[m, 4 n + 1 == 2 m + 1], Integers], Resolve[Exists[n, 4 n + 1 == 2 m + 1], Integers]}
-
已知命题
; 命题 ,则下列命题中为真命题的是:{Resolve[Exists[x, Sin[x] < 1], Reals], Resolve[ForAll[x, Exp[Abs[x]] >= 1], Reals]}
-
设函数
,则下列函数中为奇函数的是:1 2 3 4
ClearAll[f, g]; f[x_] := (1 - x)/(1 + x); g[x_] := f[x - 1] + 1; Resolve[ForAll[x, g[x] == -g[-x]], Reals]
-
在正方体
中, 为 的中点,则直线 与 所成的角为:
With[{ad1 = {0, 1, 1}, pb = {1/2, 1/2, 1} - {1, 0, 0}}, VectorAngle[pb, ad1]]
-
将
5
名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4
个项目进行培训,每名志愿者只分配到1
个项目,每个项目至少分配1
名志愿者,则不同的分配方案共有240
种Binomial[5, 2]*4!
-
把函数
图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 个单位长度,得到函数 的图像,则 (略) -
在区间
(0,1)
与(1,2)
中各随机取1
个数,则两数之和大于 的概率为: (略) -
魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高。如图,点
在水平线 上, 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”, 称为“表距”, 和 都称为“表目距”, 与 的差称为“表目距的差”,则海岛的高
|
|
-
设
,若 为函数 的极大值点,则:f[x_] := a (x - a)^2 (x - b); Simplify[(D[f[x], {x, 2}] /. x -> a) < 0]
-
设
是椭圆 的上顶点,若 上的任意一点 都满足 ,则 的离心率的取值范围是:1
Simplify@Reduce[ForAll[{x, y}, {x^2/a^2 + y^2/b^2 == 1, a > b > 0}, x^2 + (y - b)^2 <= 4 b^2], Reals]
-
设
,则: (略)
二、填空题
本题共4小题,每小题5分,共20分。
-
已知双曲线
的一条渐近线为 ,则 的焦距为:4
(略) -
已知向量
,若 ,则With[{a = {1, 3}, b = {3, 4}}, Solve[VectorAngle[a - b x, b] == Pi/2]]
-
记
的内角 的对边分别为 ,面积为 ,则1 2 3
ClearAll[a, b, c]; Simplify@ Solve[{a c Sin[Pi/3]/2 == Sqrt[3], b^2 == a^2 + c^2 - 2 a c Cos[Pi/3], a^2 + c^2 == 3 a c, a > 0, b > 0, c > 0}, {a, b, c}, Reals]
-
以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为②⑤或③④(略)
三、解答题
共70分。第17~21题为必考题,第22、23题为选考题
(一)必考题
共5小题,每小题12分,共60分。
-
某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和新设备各生产了
10
件产品,得到个件产品该项指标数据如下:旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为
和 ,样本方差分别记为 和(1)求
.10, 10.3, 0.036, 0.04
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果
,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高,否则不认为有显著提高).否
1 2 3 4 5
old = {9.8, 10.3, 10.0, 10.2, 9.9, 9.8, 10.0, 10.1, 10.2, 9.7}; new = {10.1, 10.4, 10.1, 10.0, 10.1, 10.3, 10.6, 10.5, 10.4, 10.5}; {{a, b} = Mean /@ {old, new}, {c, d} = Variance[#]*(Length[#] - 1)/Length[#] & /@ {old, new}, b - a >= 2 Sqrt[(c + d)/2]}
-
如图,四棱锥
的底面是矩形, 底面 为 的中点,且(1)求
(2)求二面角
的正弦值:1 2 3
ClearAll[p, b, a, m, t]; With[{p = {0, 0, 1}, b = {t, 1, 0}, a = {t, 0, 0}, m = {t/2, 1, 0}}, {Solve[{VectorAngle[p - b, a - m] == Pi/2, t > 0}, t, Reals], Sin@DihedralAngle[{p, m}, {a - m, b - m}] /. t -> Sqrt[2]}]
-
记
为数列 的前n
项和, 为数列 的前n
项积,已知(1)证明:数列
是等差数列.(2)求
的通项公式1 2 3
RSolve[{b[1] == 3/2, 2 b[n - 1] + 1 == 2 b[n]}, {b}, n] b[n]/b[n - 1] /. b -> Function[{n}, (2 + n)/2] RSolve[{a[n] == S[n] - S[n - 1], a[2] == -1/6} /. S -> Function[{n}, (2 + n)/(1 + n)], {a}, n]
-
设函数
,已知 是函数 的极值点(1)求
a=1
ClearAll[a, x]; Solve[((D[x Log[a - x], x]) /. x -> 0) == 0]
(2)设函数
,证明Resolve[ForAll[x, x < 1 && x != 0, x + Log[1 - x] > x Log[1 - x]], Reals]
-
已知抛物线
的焦点为 ,且 与圆 上点的距离的最小值为4
(1)求
p=2
Solve[{RegionDistance[ImplicitRegion[x^2 + (y + 4)^2 == 1, {x, y}], {0, p/2}] == 4, p > 0}]
(2)若点
在 上, 是 的两条切线, 是切点,求 面积的最大值:1 2 3 4
Simplify@Reduce[{px^2 + (py + 4)^2 == 1, y - py == k (x - px), x^2 == 4 y, k^2 - k px + py == 0}, {x, y}] Maximize[{Area@Triangle@Append[{2 k, 2 k^2 - k px + py} /. Solve[k^2 - k px + py == 0, k], {px, py}], px^2 + (py + 4)^2 == 1}, {px, py}] {20 Sqrt[5], {px -> 0, py -> -5}}
(二)选考题
共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
-
【选修4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系
中, 的圆心为 ,半径为1
(1)写出
的一个参数方程: (略)(2)过点
作 的两条切线,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程:1 2 3
TransformedField[ "Cartesian" -> "Polar", y - 1 == k (x - 4), {x, y} -> {r, \[Theta]}] /. Solve[RegionDistance[ImplicitRegion[y - 1 == k (x - 4), {x, y}], {2, 1}] == 1]
-
【选修4-5:不等式选讲】
已知函数
(1)当
时,求不等式 的解集:Reduce[Abs[x - 1] + Abs[x + 3] >= 6, x, Reals]
(2)若
,求a的取值范围:a>-3/2
Reduce[ForAll[x, Abs[x - a] + Abs[x + 3] > -a], Reals]