等和积数

对任意自然数n，请找出n个自然数，使其和等于积。

据我所能找到的资料看，该问题最早是1970年，Simmons和Rawlinson¹在计算对称群的最大循环子群时提出的，当时叫Sets of Natural Numbers with Equal Sum and Product。Ian Stewart²的《数学万花筒》一书里也收录了，加上了故事情境，称做误打误撞问题(Compensating Errors)。

问题的数学描述是寻找主方程: $ x_1+x_2+\ldots+x_n= x_1x_2 \ldots x_n $ 的整数解$ (x_1,x_2,\ldots,x_n) $，其中 $ 1 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le \ldots \le x_n $。

(1)给定n，是否有解？
答案是肯定的，因为(1, 1, ... , 2, n)总是主方程的一个解，我们把这个解叫做基本解(trivial solution)或平凡解(basic solution)。

(2)给定n，如何找出所有解？
欧拉项目第88题product-sum number算是本问题的逆问题，解法可参考。

(3)使得主方程只有一个解（即平凡解是唯一解）的n有哪些？
目前仅发现8个：2、3、4、6、24、114、174、444。
至少算到13587782064都没有找到其他的，不知道是否只有这些，也不知道是否有限。
Starke已经证明：只有当n-1是Sophie Germain质数时，才可能。后者尽管稀少，但人们猜测有无穷个。