对任意自然数n,请找出n个自然数,使其和等于积。

据我所能找到的资料看,该问题最早是1970年,Simmons和Rawlinson1在计算对称群的最大循环子群时提出的,当时叫Sets of Natural Numbers with Equal Sum and Product。Ian Stewart2的《数学万花筒》一书里也收录了,加上了故事情境,称做误打误撞问题(Compensating Errors)。

问题的数学描述是寻找主方程: $ x_1+x_2+\ldots+x_n= x_1x_2 \ldots x_n $ 的整数解$ (x_1,x_2,\ldots,x_n) $,其中 $ 1 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le \ldots \le x_n $。

(1)给定n,是否有解?
答案是肯定的,因为(1, 1, ... , 2, n)总是主方程的一个解,我们把这个解叫做基本解(trivial solution)或平凡解(basic solution)。

(2)给定n,如何找出所有解?
欧拉项目第88题product-sum number算是本问题的逆问题,解法可参考。

(3)使得主方程只有一个解(即平凡解是唯一解)的n有哪些?
目前仅发现8个:2、3、4、6、24、114、174、444
至少算到13587782064都没有找到其他的,不知道是否只有这些,也不知道是否有限。
Starke已经证明:只有当n-1Sophie Germain质数时,才可能。后者尽管稀少,但人们猜测有无穷个。


  1. G. J. Simmons, D. B. Rawlinson and E. P. Starke. The American Mathematical Monthly. Vol. 78, No. 9 (Nov., 1971), pp. 1021-1022 ↩︎

  2. Ian Stewart, Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, 中译2017修订版《数学万花筒》, pp. 83 ↩︎